Παράδοξα-Γρίφοι και Άλλα...

Τα παράδοξα του απείρου

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα
Σ=1-1+1-1+1-1+1-1+...
Είναι Σ=1-1+1-1+1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0.
Θα υπολογίσουμε το ίδιο άθροισμα, με διαφορετικό τρόπο.
Σ=1-1+1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-1+...)=1-0=1.
Βάλαμε όλους τους όρους εκτός από τον πρώτο σε μία παρένθεση με πρόσημο - , οπότε με βάση τον προηγούμενο συλλογισμό το άθροισμα στην παρένθεση είναι ίσο με 0 και επομένως Σ=1.
Ας υπολογίσουμε άλλη μία φορά το Σ.
Αν κάνουμε ότι και πρίν, το άθροισμα στην παρένθεση είναι το Σ, οπότε προκύπτει ότι:
Σ=1-1+1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-1+...), δηλαδή
Σ=1-Σ ή Σ+Σ=1 ή 2Σ=1 και άρα Σ=1/2
Άν όμως Σ=0 και Σ=1 και Σ=1/2 τότε 0=1=1/2 !!!
Κάτι τέτοιοι συλλογισμοί είναι υπεύθυνοι για την δυσκολία κατανόησης εννοιών σχετικών με το άπειρο, όπως και για την πολύ καθυστερημένη αποδοχή του απείρου στα Μαθηματικά.

Ξενοδοχείο " ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ "

Ένα Ξενοδοχείο διαφορετικό από όλα τα άλλα.

Το ξενοδοχείο "Το Απειρο", όπως λέει και το όνομα του, έχει άπειρα δωμάτια που είναι όλα κατειλημμένα.

Ήρθε ένας νέος πελάτης, ζήτησε δωμάτιο και εξυπηρετήθηκε
Ήρθαν εκατό νέοι πελάτες και εξυπηρετήθηκαν
Ήρθαν άπειροι νέοι πελάτες και τακτοποιήθηκαν και αυτοί

Πώς κατάφερε ο "Εμπειρος" διευθυντής του "Απειρου" ξενοδοχείου, με τα άπειρα αλλά κατειλημμένα δωμάτια, να βρεί δωμάτια για έναν νέο πελάτη, για εκατό, αλλά και για άπειρους νέους πελάτες ;
Αν δεν έχετε εμπειρία από Ξενοδοχεία, μπορείτε να βρείτε την απάντηση εδώ.

Επιδημία σε μοναστήρι

Ένας αρκετά(;) γνωστός γρίφος, που όμως είναι πολύ καλός.

Σέ ένα μοναστήρι, οι καλόγεροι βρίσκονται όλοι μαζί μόνο κάθε πρωί στην τραπεζαρία για το πρωινό τους. Κάποιο από τα πρωινά αυτά ο ηγούμενος του μοναστηριού τους ανακοίνωσε ότι έχει εμφανιστεί στην μονή μία ασθένεια, της οποίας το μόνο σύμπτωμα είναι ένα σημάδι στο κούτελο. Θα πρέπει λοιπόν, κατέληξε ο ηγούμενος, κάθε μοναχός που έχει την ασθένεια αυτή, να αποχωρήσει από την μονή. Πράγματι μετά από κάποιες μέρες όλοι οι ασθενείς μοναχοί αποχώρησαν. Αν κάθε μοναχός μπορεί να δει όλους τους άλλους, αλλά όχι τον εαυτό του και οι μοναχοί δεν μιλάνε μεταξύ τους, δεν κάνουν νοήματα ο ένας στον άλλο κτλ , πως κατάλαβαν ποιοί είναι ασθενείς και αποχώρησαν;
(Υποτίθεται μόνο, οτι οι μοναχοί είναι όσο ευφυείς χρειάζεται, για να κάνουν τους κατάλληλους συλλογισμούς και φυσικά υπάρχει ένας τουλάχιστον ασθενής.)

Αν ο ασθενής μοναχός ήταν ένας, πως θα το καταλάβαινε και πότε ;
Αν οι ασθενείς μοναχοί ήταν δύο, πως θα το καταλάβαιναν και πότε; κτλ

Αν δεν τα καταφέρατε, δεν πειράζει. Δείτε εδώ την απάντηση.

Τα καπέλα

Ένας ακόμη πολύ καλός γρίφος.

Διαθέτουμε πέντε (5) καπέλα, τρία κόκκινα και δύο μαύρα. Τρία άτομα είναι τοποθετημένα έτσι ώστε ο τρίτος να βλέπει τους δύο πρώτους, ο δεύτερος να βλέπει μόνο τον πρώτο και ο πρώτος να μη βλέπει κανέναν από τους άλλους δύο. Τους κλείνουμε τα μάτια και βάζουμε στο κεφάλι τους από ένα καπέλο. Τους ζητάμε να ανοίξουν τα μάτια. Ρωτάμε τον τρίτο, τι χρώματος καπέλο φοράει. Αυτός απαντά ΔΕΝ ΞΕΡΩ. Ρωτάμε τον δεύτερο. Κι αυτός απαντά ΔΕΝ ΞΕΡΩ. Τέλος ρωτάμε τον πρώτο κι αυτός απαντά ... ΞΕΡΩ !!!
Τί χρώμα είναι το καπέλο του πρώτου και πώς το κατάλαβε;

(Υποτίθεται μόνο, οτι και τα τρία άτομα είναι όσο ευφυή χρειάζεται, για να κάνουν τους κατάλληλους συλλογισμούς.)

Δυσκολεύεστε; Δείτε εδώ την απάντηση.

Κι άλλα καπέλα

Ένας ακόμη πολύ καλός γρίφος και πάλι με καπέλα.

Διαθέτουμε καπέλα, κόκκινα και μαύρα. Τρία άτομα είναι τοποθετημένα έτσι ώστε ο καθένας να βλέπει τους άλλους δύο .Τους κλείνουμε τα μάτια και βάζουμε στο κεφάλι τους από ένα κόκκινο καπέλο, κάτι που βεβαίως οι ίδιοι αγνοούν. Τους ζητάμε να ανοίξουν τα μάτια και να σηκώσουν το χέρι τους, εφ'όσον βλέπουν ένα τουλάχιστον κόκκινο καπέλο. Όπως είναι φυσικό και οι τρεις σήκωσαν το χέρι τους. Στη συνέχεια τους ζητάμε να κατεβάσουν το χέρι τους αν καταλάβουν τι χρώμα είναι το καπέλο που φορούν. Ύστερα από λίγο ο εξυπνότερος απ'όλους κατέβασε το χέρι του.
Πώς κατάλαβε τι χρώμα καπέλο φορούσε ο εξυπνότερος της παρέας; ;

(Εδώ πρέπει κάποιος να είναι πιο ευφυής απ'τους άλλους, γιατί σε διαφορετική περίπτωση θα κατέβαζαν και οι τρεις συγχρόνως το χέρι τους.)

Δεν φοράτε καπέλο και δυσκολεύεστε; Δείτε εδώ την απάντηση.

Τα σκουλαρίκια

Ας αφήσουμε τα καπέλα.

Διαθέτουμε τέσσερα χρυσά και τέσσερα ασημένια σκουλαρίκια. Τρείς ευφυέστατες κυρίες, η Α(λκμήνη), η Β(ικεντία) και η Γ(εωργία) κάθονται έτσι ώστε κάθε μία να βλέπει τις άλλες δύο. Τους κλείνουμε τα μάτια και βάζουμε σε κάθε μία δύο σκουλαρίκια, από ένα σε κάθε αυτί. Τα δύο σκουλαρίκια που περίσσεψαν, τα κρύβουμε. Ζητάμε να ανοίξουν τα μάτια τους και ρωτάμε, με την σειρά την Α, την Β και τέλος την Γ, άν ξέρουν τι σκουλαρίκια φοράνε - δύο χρυσά, δύο ασημένια ή ένα χρυσό και ένα ασημένιο;(Το αυτί αριστερό ή δεξί δεν έχει σημασία). Η Α απαντά όχι. Η Β απαντά όχι. Η Γ απαντά κι αυτή όχι. Ρωτάμε δεύτερη φορά την Α που απαντά και πάλι όχι. Ρωτάμε δεύτερη φορά την Β που απαντά ναι, ξέρω (καιρός ήταν).
Πώς κατάλαβε η Β(ικεντία) τι σκουλαρίκια φορούσε; ;

Και οι τρεις κυρίες θεωρούνται εξίσου έξυπνες

Αν δεν τα καταφέρετε, δείτε εδώ την απάντηση.

Η ερώτηση

Άλλος ένας γρίφος.

Ένας Δημόσιος Υπάλληλος και μάλιστα Εκπαιδευτικός, αφού ταλαιπώρησε εκατοντάδες ή μάλλον χιλιάδες μαθητές και τους γονείς τους και μετά από περικοπές επιδομάτων, μισθού, δώρων και αύξηση του ορίου συνταξιοδότησης στα 92, πέθανε χωρίς φυσικά να προλάβει να βγεί στη σύνταξη και εννοείται χωρίς να πάρει το εφάπαξ, αυτό έλειπε. Παρουσιάζεται λοιπόν ο Δημόσιος Υπάλληλος στον Άγιο Πέτρο για να ακολουθήσει την προβλεπόμενη διαδικασία.
Λοιπόν, του λέει ο Άγιος Πέτρος, σύμφωνα με τις εντολές του Ανδρέα Λοβέρδου, όλοι οι Δημόσιοι Υπάλληλοι, εκτός από τους Δικαστικούς (αυτοί πάντα εξαιρούνται), πηγαίνουν στην Κόλαση. Εγώ όμως τους δίνω μία τελευταία ευκαιρία, να πάνε στον Παράδεισο. Εδώ, όπως βλέπεις, υπάρχουν δύο πόρτες και κάθε πόρτα έχει και τον φύλακα της. Η μία πόρτα οδηγεί στον Παράδεισο ενώ η άλλη στην Κόλαση. Από τους δυο φύλακες, ο ένας λέει πάντα την αλήθεια, ενώ ο άλλος λέει πάντα ψέματα. Χωρίς να ξέρεις ποιός λέει αλήθεια και ποιός ψέματα, έχεις το δικαίωμα να κάνεις μόνο μία ερώτηση σε έναν μόνο από τους δύο φύλακες, ώστε να μπορέσεις να βρείς την πόρτα που οδηγεί στον Παράδεισο και να γλυτώσεις από την Κόλαση.
Αφού σκέφτηκε για λίγο ο Δ.Υπάλληλος, υπέβαλε μία ερώτηση στον ένα φύλακα και μετά την απάντηση που του έδωσε αυτός, βρήκε(!!) την πόρτα που οδηγεί στον Παράδεισο
Ποιά ήταν η ερώτηση που έκανε ο Δ.Υπάλληλος και κατάλαβε ποιά ήταν η πόρτα που οδηγούσε στον Παράδεισο;

Αν δυσκολεύεστε, ίσως δεν είστε Δημ. Υπάλληλος. Αυτοί, όταν δεν ταλαιπωρούν τους άλλους, κάθονται και για να περάσει η ώρα τους σκέφτονται κάτι τέτοια. Οπότε εσείς μπορείτε να δείτε την απάντηση εδώ.

Περί κρυπτογραφίας

Η κρυπτογραφία έπαιζε και παίζει (ακόμη περισσότερο σήμερα) σημαντικό ρόλο στη ζωή των ανθρώπων. Δεν έχει να κάνει μόνο με στρατιωτικά μυστικά, αλλά και με την καθημερινότητα μας πια. Οι συναλλαγές μας μέσω Internet είναι ένα παράδειγμα.
Ένας απλός τρόπος κρυπτογράφησης είναι η αντικατάσταση ενός γράμματος με ένα άλλο. Βάζουμε π.χ στην θέση του α το τ, στην θέση του β το ν, αντί για γ το ω κτλ. (Η αντικατάσταση αυτή ήταν τελείως τυχαία). Ένα κείμενο κρυπτογραφημένο με τον τρόπο αυτό είναι πολύ εύκολο να αποκρυπτογραφηθεί. Η αποκρυπτογράφηση βασίζεται στην συχνότητα εμφάνισης ενός γράμματος σε μία γλώσσα. Στον παρακάτω πίνακα καταγράφεται η συχνότητα (%) εμφάνισης των γραμμάτων στα κείμενα που είναι γραμμένα στα ελληνικά.

Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα
α	12	ε	8	ι	7,8	ν	7,9	ρ	5	φ	1,2
β	0,8	ζ	0,5	κ	4,2	ξ	0,6	σ	4,9	χ	1,4
γ	2	η	2,9	λ	3,3	ο	9,8	τ	9,1	ψ	0,2
δ	1,7	θ	1,3	μ	4,4	π	5	υ	4,3	ω	1,6

Τα στοιχεία του πίνακα τα έχω πάρει απο το βιβλίο

ΚΩΔΙΚΕΣ ΚΑΙ ΜΥΣΤΙΚΑ
του Simon Singh
Εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ

Το πιο κάτω κρυπτογραφημένο κείμενο είναι ένα απόσπασμα από ένα πολύ ωραίο ποίημα. Μπορείτε να δοκιμάσετε τις ικανότητες σας στην αποκρυπτογράφηση, χρησιμοποιώντας τον παραπάνω πίνακα συχνοτήτων

		ΧΩΓΑΝ ΗΔΓ ΒΜΕΔ ΣΤΕ ΧΩΓΑΝ ΗΤ ΛΖΔΓΕΤ ΧΔΥ ΩΖΛΔΓΗΤΕ
		ΛΝΖΕΨ ΩΘΤΨ ΣΤΕ ΗΖΤΠΔΥΚΝ Η'ΤΜΜΤ ΧΔΥ ΧΩΖΤΨΤΓ
		ΩΤΓ ΩΕΓΤΕ ΤΜΒΑΩΕΤ

		ΘΕΜΒΘΩΓΤ ΗΤ ΨΝΘΤΗΤ ΣΤΕ ΔΕ ΟΤΖΣΩΨ ΧΔΥ ΩΣΖΔΥΨΤΓ ΠΜΥΣΤ
		ΔΕ ΣΕΑΤΖΩΨ ΧΔΥ ΤΓΤΟΔΨΟΒΨΤΓ ΣΤΗΝ ΤΧΔ ΗΤ ΓΩΖΤ
		ΗΤ "ΧΕΨΗΩΞΩ ΘΩ" ΣΤΕ ΗΤ "ΘΒ"
		ΘΕΤ ΨΗΔΓ ΤΩΖΤ, ΘΕΤ ΨΗΒ ΘΔΥΨΕΣΒ

		ΗΤ ΚΥΔ ΘΕΣΖΤ ΡΝΤ, ΗΤ ΛΩΖΕΤ ΘΤΨ
		ΧΔΥ ΠΥΖΩΥΤΓ Γ'ΤΓΩΟΔΥΓΩ ΣΖΥΙΤ ΗΔ ΩΓΤ ΨΗΔ ΤΜΜΔ
		Β ΠΜΤΨΗΖΤ ΘΩ ΗΔ ΚΖΔΨΤΛΕ ΨΗΕΨ ΤΓΔΕΛΗΩΨ ΤΥΜΔΧΔΖΗΩΨ
		ΣΤΕ ΗΤ ΣΔΘΘΤΗΕΤ ΔΕ ΑΤΜΤΨΨΩΨ ΧΔΥ ΩΖΛΔΓΗΔΥΨΤΓ ΘΤΡΕ
		ΧΤΓΝ ΤΧ'ΗΕΨ ΦΩΖΔΜΕΑΕΩΨ, ΧΕΨΝ ΤΧ' ΗΔΥΨ ΙΖΤΛΗΩΨ
		ΗΒΓ ΤΓΩΘΝΓΤ ΧΔΥ ΣΤΑΕΨΩ ΨΗΔ ΛΩΖΕ ΨΔΥ
		ΣΕ ΩΗΖΩΘΩ ΗΖΩΕΨ ΙΔΖΩΨ ΗΔ ΘΝΟ ΗΖΩΕΨ ΘΩΖΩΨ ΧΤΓΝ ΤΧΔ ΗΔΥΨ ΣΤΗΤΖΖΤΛΗΩΨ

		ΩΤΓ ΤΥΗΤ ΩΕΓΤΕ ΤΜΒΑΩΕΤ ΗΖΤΠΔΥΚΝ
		ΗΔ ΦΥΜΕΓΔ ΚΔΣΤΖΕ ΣΤΕ ΗΔ ΗΩΗΖΤΠΝΓΔ ΙΤΓΗΔ
		ΨΗΔΓ ΗΔΕΛΔ, ΗΒ ΠΔΖΠΔΓΤ ΘΩ ΗΤ ΦΩΧΜΩΣΤ ΘΤΜΜΕΤ
		ΗΒ ΠΤΗΤ ΧΔΥ ΘΤΨ ΣΔΕΗΤΦΩ ΘΩΨΤ ΨΗΤ ΨΣΔΗΩΕΓΤ
		ΧΤΕΚΕ ΘΩ ΗΔ ΜΕΟΤΓΕ ΣΤΕ ΘΩ ΗΔΓ ΣΔΣΣΕΓΔ ΨΗΤΥΖΔ
		ΗΒΓ ΝΖΤ ΧΔΥ ΟΖΤΚΕΤΡΩΕ ΨΗΝΓ ΟΖΤΛΝΓ ΗΔ ΤΧΜΒΨΕΤΨΗΔ
		ΧΩΓΑΝ ΗΔ ΖΔΥΛΔ ΧΔΥ ΤΠΠΕΦΤ ΣΤΕ ΘΔΥ ΒΖΑΩ Δ ΣΔΨΘΔΨ.

Αν δεν τα καταφέρετε, το αρχικό κείμενο βρίσκεται εδώ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Επιδημία σε μοναστήρι

Aν ο ασθενής μοναχός είναι μόνο ένας, έστω ο Α, τότε αυτός κοιτώντας όλους τους άλλους, δεν βλέπει κανέναν ασθενή, άρα καταλαβαίνει ότι ο ίδιος είναι ασθενής και θα αποχωρήσει.
Αν οι ασθενείς είναι δύο,εστω ο Α και ο Β, τότε ο ένας, έστω ο Β, κοιτάζει όλους τους υπόλοιπους και βλέπει έναν ασθενή, τον Α. Αν ο Α δεν εβλεπε κανέναν ασθενή (προηγούμενη περίπτωση) θα έπρεπε να μην εμφανιστεί την επόμενη μέρα στο πρωινό. Ο Α όμως βλέπει τον Β και έτσι περιμένει να μην εμφανιστεί ο Β την επόμενη μέρα. Επειδή λοιπόν και οι δύο δεν αποχωρούν την πρώτη μέρα, καταλαβαίνουν οτι είναι και οι δύο ασθενείς και αποχωρούν την δεύτερη μέρα.
Ομοίως αν υπάρχουν τρείς ασθενείς θα αποχωρήσουν σε τρείς μέρες κτλ.

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Ξενοδοχείο " ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ "

Για τόν ένα νέο πελάτη, ο διευθυντής ζήτησε από τους ενοίκους του ξενοδοχείου να μεταφερθούν στο αμέσως επόμενο δωμάτιο, δηλαδή οι ένοικοι του δωματίου με αριθμό 1 μεταφέρθηκαν στο δωμάτιο με αριθμό 2, αυτοί του 2 στο δωμάτιο 3 κτλ. Έτσι έμεινε άδειο το δωμάτιο 1 για τον νέο πελάτη.
Ομοίως για να εξυπηρετήσει τους 100 νέους πελάτες, ζήτησε από τους ενοίκους να μεταφερθούν εκατό δωμάτια μετά και
Για να εξυπηρετήσει άπειρους νέους πελάτες, ζήτησε από τους ενοίκους να μεταφερθούν στο δωμάτιο με αριθμό διπλασιο απο τον αριθμό του δωματίου στον οποίο έμεναν. Έτσι οι ένοικοι του 1 πήγαν στο 2, αυτοί του 2 πήγαν στο 4, από το 3 πήγαν στο 6 κτλ. Με τον τρόπο αυτό έμειναν κενά τα δωμάτια 1, 3, 5, 7, ... στα οποία εγκαταστάθηκαν οι άπειροι νέοι πελάτες!!!!

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Τα καπέλα

Υπάρχουν δύο μαύρα και τρία κόκκινα καπέλα. Aν οι δύο πρώτοι φορούσαν μαύρα καπέλα, ο τρίτος θα έβλεπε τους δύο πρώτους να φοράνε μαύρα καπέλα και επειδή τα υπόλοιπα καπέλα είναι κόκκινου χρώματος , θα ήξερε ότι αυτός φοράει κόκκινο καπέλο. Επειδή απάντησε όμως ΔΕΝ ΞΕΡΩ σημαίνει ότι οι δύο πρώτοι δεν φοράνε και οι δύο καπέλο μαύρου χρώματος. Δηλαδή ένας τουλάχιστον από αυτούς φοράει κόκκινο καπέλο.
Ο δεύτερος απάντησε κι αυτός ΔΕΝ ΞΕΡΩ. Αν ο πρώτος, τον οποίο βλέπει, φορούσε μαύρο καπέλο, τότε εκείνος θα φορούσε κόκκινο. Επειδή όμως δήλωσε ΔΕΝ ΞΕΡΩ, σημαίνει ότι ο πρώτος φοράει κόκκινο καπέλο και άρα αυτός ( ο δεύτερος)φοράει ή κόκκινο ή μαύρο
O πρώτος, που δεν βλέπει κανένα από τους άλλους δύο, συμπεραίνει απο τις απαντήσεις τους ότι ίδιος φοράει κόκκινο καπέλο.

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Κι άλλα καπέλα

Ας υποθέσουμε ότι τα τρία άτομα είναι ο Α, ο Β και ο Γ και ακόμη ότι ο εξυπνότερος είναι ο Α.
Ο Α κατεβάζει πρώτος το χέρι του, γιατί βλέπει δύο κόκκινα καπέλα και κάνει τον παρακάτω συλλογισμό πιο γρήγορα από τους άλλους δύο. " Αν φοράω μαύρο καπέλλο , ο Β π.χ. έχει σηκώσει το χέρι του γιατί βλέπει μαύρο σε μένα και κόκκινο στον Γ , οπότε ο Γ που βλέπει μαύρο σε μένα και υψωμένο το χέρι του Β θα καταλάβαινε ότι ο ίδιος (ο Γ) φοράει κόκκινο και θα κατέβαζε το χέρι του. Αφού δεν κατεβάζει το χέρι του σημαίνει ότι κι εγώ (ο Α) φορώ κόκκινο καπέλο."

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Τα σκουλαρίκια

Η Βικεντία φοράει ένα Χρυσό και ένα Ασημένιο σκουλαρίκι.

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Η ερώτηση

Ο Δ.Υπάλληλος διάλεξε έναν από τους δύο φύλακες τυχαία και τον ρώτησε
Ποιά πόρτα θα μου δείξει ο άλλος, αν τον ρωτήσω ποιά είναι η πόρτα που οδηγεί στον Παράδεισο;
Αν ο φύλακας που ρώτησε ήταν αυτός που έλεγε αλήθεια, του απάντησε ότι ο άλλος (που είναι ο ψεύτης) θα του έδειχνε την πόρτα Β
Αν ο φύλακας που ρώτησε ήταν αυτός που έλεγε ψέματα, του απάντησε ότι ο άλλος (που θα έδειχνε την Α γιατί είναι αυτος που λέει αλήθεια) θα του έδειχνε την πόρτα Β, γιατι αυτός που ρωτήθηκε είναι ο ψεύτης

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Κρυπτογραφία

Το κρυπτογραφημένο κείμενο είναι ένα απόσπασμα απο το ποίημα του Οδυσσέα Ελύτη " Το Μονόγραμμα "

			Πενθώ τον ήλιο και πενθώ τα χρόνια που έρχονται
			Χωρίς εμάς και τραγουδώ τ'άλλα που πέρασαν
			Εάν είναι αλήθεια
			
			Μιλημένα τα σώματα και οι βάρκες που έκρουσαν γλυκά
			Οι κιθάρες που αναβόσβησαν κάτω από τα νερά
			Τα "πίστεψέ με" και τα "μη"
			Μια στον αέρα, μια στη μουσική
			
			Τα δυο μικρά ζώα, τα χέρια μας
			Που γύρευαν ν'ανέβουνε κρυφά το ένα στο άλλο
			Η γλάστρα με το δροσαχί στις ανοιχτές αυλόπορτες
			Και τα κομμάτια οι θάλασσες που ερχόντουσαν μαζί
			Πάνω απ' τις ξερολιθιές, πίσω απ' τους φράχτες
			Την ανεμώνα που κάθισε στο χέρι σου
			Κι έτρεμε τρεις φορές το μώβ τρεις μέρες πάνω από τους καταρράχτες
			
			Εάν αυτά είναι αλήθεια τραγουδώ
			Το ξύλινο δοκάρι και το τετράγωνο φαντό
			Στον τοίχο, τη Γοργόνα με τα ξέπλεκα μαλλιά
			Τη γάτα που μας κοίταξε μέσα στα σκοτεινά
			Παιδί με το λιβάνι και με τον κόκκινο σταυρό
			Την ώρα που βραδιάζει στων βράχων το απλησίαστο
			Πενθώ το ρούχο που άγγιξα και μου ήρθε ο κόσμος.

ΕΠΙΣΤΡΟΦΗ

Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα
α	12	ε	8	ι	7,8	ν	7,9	ρ	5	φ	1,2
β	0,8	ζ	0,5	κ	4,2	ξ	0,6	σ	4,9	χ	1,4
γ	2	η	2,9	λ	3,3	ο	9,8	τ	9,1	ψ	0,2
δ	1,7	θ	1,3	μ	4,4	π	5	υ	4,3	ω	1,6

Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα
α	12	ε	8	ι	7,8	ν	7,9	ρ	5	φ	1,2
β	0,8	ζ	0,5	κ	4,2	ξ	0,6	σ	4,9	χ	1,4
γ	2	η	2,9	λ	3,3	ο	9,8	τ	9,1	ψ	0,2
δ	1,7	θ	1,3	μ	4,4	π	5	υ	4,3	ω	1,6

Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα	Γράμμα	Συχνότητα
α	12	ε	8	ι	7,8	ν	7,9	ρ	5	φ	1,2
β	0,8	ζ	0,5	κ	4,2	ξ	0,6	σ	4,9	χ	1,4
γ	2	η	2,9	λ	3,3	ο	9,8	τ	9,1	ψ	0,2
δ	1,7	θ	1,3	μ	4,4	π	5	υ	4,3	ω	1,6